被 Matrix67 抢了先机，本来我还想来篇“最新题解”呢。

看起来是 first solver ……感觉不错。把题目给 fanhq 看了下，和我一样的做法。

Problem

只允许使用加、减、模运算，10 次操作内求出

$$f(x) = 1 + x + x^2 + x^4 \mod{2233393}$$

Solution

首先我们先给出一个九次操作的解法。

注意到 $x^2 = M^2 \mod{(M+x)}$ 。如果保证 $x^2 < M+x$ ，那么我们就有 $x^2 = (M^2 \mod{(M+x)})$ 。为了保证 $M$ 足够大，我们先令 $x$ 模 $p = 2233393$ ，这样 $x < p$ ，令 $M = p^2$ 即可。这样一次平方操作需要两次操作，共需要两次平方操作，三次加法，最后再来一次模，一开始要令 $x$ 模 $p$ ，共 9 次操作。

其实这个方法蛮好的，但总感觉有点怪怪的——为啥不把两次平方操作以及加法全部预处理呢？

易得

$$-M \equiv x \mod{(M + x)}$$

我们有

$$f(-M) \equiv f(x) \mod{(M+x)}$$

注意到 $f(-M)$ 是常数，且当 $M+x > f(x)$ 时，我们有 $f(x) = f(-M) \mod{(M+x)}$ 。为方便起见，我们可以直接令 $M = f(p)$ ，于是我们就只需要四次操作：

m = f(p)
fm = f(-m)
def f(x) :
	return fm % (m + x % p) % p