也算得上是与时俱进更新了一回，上个月的 UyHiP 居然被我想出来了真是让人开心～

Problem

对于一个函数 $f$ ，我们说 $f$ 是 $k$ 性质的，当且仅当存在一对正整数 $(a, d)$ 满足 $f(a) < f(a + d) < f(a + 2d) < \cdots < f(a + kd)$ 。

现在请找出所有的正整数 $k$ ，使得所有的 $N^+ \to N^+$ 的双射函数 $f$ 均是 $k$ 性质的。

Solution

$k$ 只能为 1 或 2 。

显然 $k$ 具有单调性，我们只要证明 $k = 2$ 时可行，且 $k = 3$ 时不可行即可。

对于任意一个 $N^+ \to N^+$ 的函数 $f$ ，我们总可以找到一个 $x$ 使得 $f(x) = 1$ 。考虑序列 $f(x + 1), f(x + 2), \dots, f(x + 2^t), \dots$ 。由于值是有限的，所以这个序列不能无限递减下去，所以必定存在一个 $r$ 使得 $f(x + 2^r) < f(x+2^{r+1})$ 。由于 $f(x)$ 是 $f$ 的最小值，所以我们有 $f(x) < f(x + 2^r) < f(x + 2 \times 2^r)$ 。也就是 $k = 2$ 总是可行的。

考虑一个序列 $3, 2, 1, 9, 8, \dots, 4, 27, \dots 10, 81, \dots 28, \dots$ 。我们将证明对于这个函数不存在 $k = 3$ 时的 $(a, d)$ 。对于任意一个 $f(a) < f(a + d) < f(a + 2d)$ ，我们总可以找到一个 $t$ ，使得 $a + d \leq 3^t < a + 2d$ （否则就不会有 $f(a + d) < f(a + 2d)$ ）。易知 $3^t < a + 2d < a + 3d = 3(a + d) - 2d \leq 3^{t + 1} - 2d < 3^{t + 1}$ ，于是必有 $f(a + 2d) > f(a + 3d)$ 。

nonsense

上次手贱鼓捣 Jekyll 时没有备份，导致丢失了一堆的 markdown 源文件 →_→

幸亏还留着 html 备份。

看 html 很好的一点就是公式全部给我备份了的，在 img 的 alt 属性里面。

于是怒写一个 Elisp 代码批量替换，少部分就自己手玩微调。

    (defun to-md ()
      (interactive)
      (replace-regexp "' class='maruku-png' src='/images/latex/.*?.png' style='' />
</span>" "") (beginning-of-buffer)
      (replace-regexp "<h2 id='.*?'>" "## ") (beginning-of-buffer)
      (replace-regexp "<h1 id='.*?'>" "# ") (beginning-of-buffer)
      (replace-regexp "<p>" "") (beginning-of-buffer)
      (replace-regexp "</p>" "") (beginning-of-buffer)
      (replace-regexp "</h2>" "") (beginning-of-buffer)
      (replace-regexp "</h1>" "") (beginning-of-buffer)
      (replace-regexp "<span class='maruku-inline'>
<img alt='" "") (beginning-of-buffer)
      (replace-regexp "&amp;" "&") (beginning-of-buffer)
      (replace-string "<!-- more -->" "<!-- more -->\n") (beginning-of-buffer)
      (replace-string "&lt;" "<") (beginning-of-buffer)
      (replace-string "&gt;" ">") (beginning-of-buffer)
      (replace-regexp "&apos;" "'") (beginning-of-buffer))

不能再手贱了 →_→