似乎比较简单 →_→

Problem

令 $x_1, x_2, \dots, x_n$ 为 $n$ 个随机变量，易知 $x$ 的和 $S$ 服从正态分布， $x^2_i$ 服从 $n$ 个自由变量的卡方分布。

如果给定 $S$ ，求 $x^2_i$ 满足什么分布？

Solution

令 $\bar{x} = \frac{S}{n}$ ，我们有

$$\sum (x_i - \bar{x})^2 = \sum x^2_i - n \bar{x}^2$$

注意到既然 $S$ 是固定的，则 $\bar{x}$ 也是固定的，于是 $x^2_i$ 满足 $\frac{S^2}{n} + \chi^2(n - 1)$ 分布。注意只有 $n - 1$ 个随机变量。