平铺矩形

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试证明：如果一个大矩形能被有限个小矩形（大小不一定相同）平铺，且小矩形至少一条边为整数，则大矩形至少有一条边为整数。

解答

注意到积分

∫abe2πixdx=e2πia(e2πi(b−a)−1)\int_{a}^b e^{2 \pi i x} \mathrm{d} x = e^{2 \pi i a} \left(e^{2 \pi i (b - a)} - 1 \right)

为 0 当且仅当 b−a∈Zb - a \in \mathbb{Z}。对于平面上一个矩形区域 RR，我们考虑如下积分：

I(R)=∬Re2πi(x+y)dxdy,I(R) = \iint_R e^{2\pi i (x + y)} \mathrm{d} x \mathrm{d} y,

这个积分值为 0 当且仅当 RR 至少有一边长为整数。令 R∗R^* 为大矩形，R1,…,nR_{1, \dots, n} 为小矩形，则有

I(R∗)=∑iI(Ri)=0,I(R^*) = \sum_{i} I(R_i) = 0,

故 R∗R^* 至少有一条边长为整数。

事实上这个题还有很多种证明方法（14 种！），但我最喜欢的还是这个基于积分的证明。

参考资料：