在看到之前你会以为这是啥 = =？

wiki 在 这里

其实就是一个公式罢了。刚刚才发现的，实在是太漂亮了：

$$\int*0^1 \frac{1}{x^x} \mathrm{d} x = \sum*{n=1} \frac{1}{n^n}$$

从一个积分到一个求和，连续到离散，真是不错。

证明的话， wiki 上有吧，摘抄如下。

首先变形： $x^{-x} = e^{-x \log x}$ 。展开有：

$$x^{-x} =\sum\_{n=0} \frac{(-x \log x)^n}{n!}$$

代入并提前 $\sum$ ：

$$\int*0^1 \frac{1}{x^x} \mathrm{d} x = \int_0^1 \sum*{n=0} \frac{(-x \log x)^n}{n!} \mathrm{d} x = \sum\_{n=0} \frac{1}{n!} \int_0^1 (-x \log x)^n \mathrm{d}x$$

换元，令 $x = e^{-\frac{t}{n+1}}, \mathrm{d} x = -\frac{e^{-\frac{t}{n+1}}}{n+1}\mathrm{d}t$ ， $0 < t < \infty$ ：

$$\begin{array}{rcl} \int*0^1 (-x \log x)^n \mathrm{d}x & = & \int_0^\infty(e^{-\frac{t}{n+1}} \frac{t}{n+1})^n \frac{-e^{-\frac{t}{n+1}}}{n+1}\mathrm{d}t \\ & = & \frac{1}{(n+1)^{n+1}} \int*\infty^0 -e^{-t} t^n \mathrm{d} t \\ & = & \frac{n!}{(n+1)^{n+1}} \\ \end{array}$$

再次代入：

$$\begin{array}{rcl} \int*0^1 \frac{1}{x^x} \mathrm{d} x & = & \sum*{n=0} \frac{1}{n!} \int*0^1 (-x \log x)^n \mathrm{d}x \\ & = & \sum*{n=0} \frac{1}{n!} \frac{n!}{(n+1)^{n+1}} \\ & = & \sum\_{n=1} \frac{1}{n^n} \\ \end{array}$$