$\newcommand{\D}[0]{\mathrm{d}}$ 卡着第 50 名过……

谁来教教我如何用微积分算期望啊，我算着简直要疯了。。

Solution

其实只要算出这两个随机变量的 pdf 就好了。但是我觉得算起来特别恶心……主要是对这货不熟吧，时不时就卡住了。

首先算第一个的 pdf 。我们枚举累加器是在第 $n$ 次累加时超过 1 ，我们计算出 $n$ 个变量的和为 $t$ 的 pdf $f(x) = \frac{t^{n - 1}}{(n - 1)!}$ ，则第一个值的密度分布函数为

$$\begin{aligned} P(x) & = \sum_{n = 1}^\infty \int_{1 - x}^{1} f(t) \D{t} \\ & = \sum_{n = 1}^\infty \int_{1 - x}^{1} \frac{t^{n - 1}}{(n - 1)!} \D{t} \\ & = \sum_{n = 1}^\infty \frac{1 - (1 - x)^n}{n!} \\ & = \sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n!} - \sum_{n = 1}^\infty \frac{(1 - x)^n}{n!} \\ & = (e - 1) - (e^{1 - x} - 1) \\ & = e - e^{1 - x} \\ \end{aligned}$$

第二个值的 pdf 就比较恶心了。还是同样的思想，我们令 $g_n(x)$ 表示 $n$ 个 0 到 1 的变量的和为 $1 + x$ 的 pdf ，可以得到 $g_1(x) = 0$ 。可以求出 $g_n (x)$ 递推式：

$$\begin{aligned} g_{n+1}(x) & = \int_{0}^x g_n(t) \D{t} + \int_{x}^1 f(t) \D{t} \\ & = \int_{0}^x g_n(t) \D{t} + \frac{1 - x^n}{n!} \\ \end{aligned}$$

求出 $g_n(x)$ 通项似乎是比较困难的，但是注意，第二个值的 pdf 我们只关心 $\sum_{n=1}^\infty g_n(x)$ 。

对于递推式 $v_{n+1}(x) = \int_0^x v_n(t) \D{t}, v_{0}(x) = 1$ ，我们可以得到 $v_n(x) = \frac{x^n}{n!}$ ，则 $\sum_{n=0}^\infty v_n(x) = e^x$ 。

我们考虑 $g_{n+1}(x) = \int_0^x g_n(t) \D{t} + \frac{1 - x^n}{n!}$ 里面的 $\frac{1}{n!}$ 。这个数会被连续积分无数次，最后对 $\sum_{n = 1}^\infty g_n (x)$ 的贡献是 $\frac{e^x}{n!}$ 。 $\frac{x^n}{n!}$ 也会被积分无数次，注意到对于 $k$ 来说，所有 $x \leq k$ 的 $\frac{x^n}{n!}$ 积分时都会得到过一个 $\frac{x^k}{k!}$ ，所以这部分对于和的贡献是 $\sum_{k = 1}^\infty k \frac{x^k}{k!} = x e^x$ 。所以我们有：

$$\sum_{n = 1}^\infty g_n(x) = \sum_{n = 1}^\infty \frac{e^x}{n!} - x e^x = e^x (e - 1 - x)$$

现在要开始求第二个值的 pdf 了。令 pdf 为 $Q(x)$ ，则有 ：

$$Q(x) = \int_{1-x}^1 e^x(e-1-x)\D{x}$$

知道了 $P(x)$ 和 $Q(x)$ ，答案就是：

$$ans = \int_{0}^1 Q(x) \int_0^x P(y) \D{y} \D{x}$$

$Q(x)$ 和 $ans$ 的具体表达式我用的 sage 暴力算的，就没写出来了。

nonsense

看着 forum 里面各种高大上的积分感觉被虐傻了。

@dyh 求你的做法。