专注数论分析三十年。

暴力跑了 2min ……

如果你想享受做题的乐趣就不要看啦。。

好了如果你还在看的话那就不能享受做题的乐趣了。。

事实上就是要快速枚举 $a^2 + 4 b^2 = p^2$ （ $a, b, c$ 均为奇数，且 $gcd(a,b,c) = 1$ ）。

换元令 $a = c + 2i, b = c - j$ ，代入后整理得 $p = \frac{i^2 +j^2}{2j - i}$ 。

再次换元令 $t = 2j - i$ ，代入后整理得 $p = \frac{5j^2}{t} + t - 4j$ 。

枚举 $j$ 即可。

相关点：如果 $a^2+b^2=c^2$ ，则将 $a + b i$ 分别乘上 $1 + 2i$ 和 $1 - 2i$ 就可以得到 $a^2 + b^2 = 5c^2$ 的解。

而且这是个丢番图方程，用一个奇怪的方法叫做割线法可以求？

关于 $a x^2 + b y^2 = c z^2$ 有一种方法可以快速枚举出来……名字叫做 Lagrange’s trick ？

首先两边都乘以 $a$ ，把原方程化为 $x^2 + by^2 = cz^2$ 这种样子。

首先我们需要找到任意一组解 $(x_0, y_0, z_0)$ 。考虑

$$\begin{array}{rl} (cz_0 z)^2 & = c^2 z^2_0 z^2 \\ & = (x^2_0 + b y^2_0) (x^2 + b y^2) \\ & = (x_0 x + b y_0 y)^2 + b (x_0 y - y_0 x)^2 \\ \end{array}$$

然后再考虑 $x^2 + b y^2 = z^2$ 该怎么解。显然 $b y^2 = (z - x)(z + x)$ 。分解质因数 $b = b_1 b_2$ ，令 $y^2 = \frac{z-x}{b_1} \frac{z+x}{b_2}$ ，然后就可以令 $y = tpq, \frac{z-x}{b_1} = tp^2, \frac{z+x}{b_2} = tq^2$ ，其中 $p, q$ 互质。枚举 $p, q$ 保证得到的数是整数即可。