对于任何序列 $S$，令 $f(S)_i$ 表示该序列中 $\equiv i \pmod{4}$ 的数目。易得

我们先观察长度为 4 的等差数列 $A = \{u, u + v, u + 2v, u + 3v\}$，对公差 $v$ 分类后可以得到 $f(A)$ 的所有可能性：

• $v \equiv 0 \pmod{4}$：$[4, 0, 0, 0], [0, 4, 0, 0], [0, 0, 4, 0], [0, 0, 0, 4]$；
• $v \equiv 1, 3 \pmod{4}$：$[1, 1, 1, 1]$；
• $v \equiv 2 \pmod {3}$：$[0, 2, 0, 2], [2, 0, 2, 0]$。

通过逐步观察，我们可以确定 $\{i \bmod 4, j \bmod 4\}$​：

• 任何情况下，$f(A)_0 + f(A)_1 \equiv 0 \pmod{2}$，而 $f(S^*)_0 + f(S^*)_1 \equiv 1 \pmod{2}$，故 $i, j$ 中有恰好一个数 $\equiv 0, 1 \pmod {4}$ ，另一个数 $\equiv 2, 3 \pmod{4}$。
• 任何情况下，$f(A)_0 + f(A)_2 \equiv 0 \pmod{2}$，而 $f(S^*)_0 + f(S^*)_2 \equiv 1 \pmod{2}$，故 $i, j$ 中有恰好一个数 $\equiv 0, 2 \pmod {4}$ ，另一个数 $\equiv 1, 3 \pmod{4}$。
• 故 $\{i \bmod 4, j \bmod 4\}$ 只能是 $\{0, 3\}$ 或 $\{1, 2\}$。
• 任何情况下，$f(A)_1 - f(A)_3 \equiv 0 \pmod{4}$，而 $f(S^*)_1 - f(S^*)_3 \equiv 1 \pmod{4}$，故 $\{i \bmod 4, j \bmod 4\}$ 只能为 $\{1, 2\}$。

聪明的同学已经看出来了，这里就是在 $\mathbb{Z}_4^4$ 下试图用 $f(A)$ 的线性组合来表达 $f(S^*) - f(\{i, j\})$​。